Навье-Стокс теңдеулері Ньютондық сұйықтар үшін импульстің сақталуын математикалық түрде сипаттайды және масса сақталу заңын пайдаланады. Кей жағдайларда олар қысым, температура және тығыздық арасындағы байланысты өрнейтейтін күй теңдеуімен толықтырылуы мүмкін.

Навье-Стокс теңдеулерінің айрықша ерекшелігі  зерттеу мен шешуді едә-уір қиындататын мүшелердің болуы. Бүгінгі таңда көптеген мәселелер жеткілікті зерттелмеген және қосымша зерттеуді қажет етеді. Шешудің жалпы әдісі жоқ және Навье-Стокс теңдеулерін де, олар үшін шекаралық және бастапқы есептерді де шешудің жалпы әдісі жоқ. Сол себепті осы жұмыста Галеркин әдісін қолдандым.

Навье–Стокс теңдеуі — сығылмайтын сұйықтық қозғалысын сипаттайтын ішінара дифференциалдық теңдеу. Бұл теңдеудің идеясы алғашында XVIII ғасырда швейцариялық математик Леонард Эйлердің еңбектерінде пайда болды. Ол сығылмайтын және үйкеліссіз (тұрақты) сұйықтықтардың ағынын зерттеген.

1821 жылы француз инженері Клод-Луи Навье тұтқырлық (үйкеліс) элементін енгізіп, сұйықтықтың нақты және күрделі қозғалысын сипаттауға мүмкіндік берді. XIX ғасырдың ортасында британдық физик және математик сэр Джордж Габриэль Стокс бұл жұмысты жетілдірді, бірақ қарапайым шешімдерді тек екі өлшемді ағындар үшін ғана алуға мүмкіндік туды.

Күрделі виржалар мен турбуленттік немесе хаостық құбылыстар, сондай-ақ жылдамдық жоғарылаған кезде үш өлшемді сұйықтық ағындарында (газдар да қосқанда) пайда болады. Бұл теңдеуді аналитикалық жолмен шешудің мүмкін еместігін дәлелдейді

Тақырыптың өзектілігі: Навье–Стокс теңдеуі сығылмайтын сұйықтықтың қозғалысын сипаттайтын негізгі математикалық модель болып табылады және гидродинамика, климаттық модельдеу, аэродинамика сияқты салаларда кеңінен қолданылады. d-өлшемді торда теңдеуді қарастыру әлсіз шешімдердің қасиеттерін, олардың бірегейлігін және тұрақтылығын жалпы жағдайда зерттеуге мүмкіндік береді, сонымен қатар периодтық шекаралық шарттар мен торлық құрылым сандық әдістерді, мысалы спектралдық әдістер мен Галеркин апроксимациясын қолдануды жеңілдетеді, бұл зерттеулерді теориялық және практикалық жағынан маңызды етеді.

Зерттеудің мақсаты: d-өлшемді торда Навье–Стокс теңдеуінің әлсіз шешімдерін құрудың теориялық негіздерін жан-жақты қарастыру, алынған шешімдердің бар болуы мен бірегейлігін дәлелдеу, сондай-ақ олардың бастапқы деректерге қатысты тұрақтылығын терең талдау. Сонымен қатар энергиялық бағалаулар тәсілдері арқылы шешімдердің уақыт бойынша шектелетінін және олардың динамикасын бақылауға болатынын көрсету, сандық аппроксимациялар мен есептеу әдістерін пайдаланып, алынған нәтижелерді практикалық модельдерде тексеру және олардың орнықтылығын нақты мысалдарда зерттеу.

Ғылыми жаңалығы: Бұл зерттеу d-өлшемді торда Навье–Стокс теңдеуінің әлсіз шешімдерін құру мен олардың бірегейлігін қарастыруда жаңа нәтижелер ұсынады. Сонымен қатар, энергиялық бағалаулар мен спектралдық әдістерді қолдану арқылы шешімдердің уақыт бойынша тұрақтылығын бақылау тәсілдері нақты көрсетілген, бұл теориялық гидродинамика мен сандық модельдеуді дамытудың жаңа бағыттарын ашады.

Іс-тәжірибелік маңыздылығы: Зерттеу нәтижелері сұйықтық ағындарын сандық модельдеуде, күрделі және турбуленттік ағындарды талдауда қолданылуы мүмкін. Сонымен қатар, периодтық шекаралық шарттар мен торлық құрылымдарды пайдалану арқылы алынған әдістер гидродинамика, климаттық модельдеу, аэродинамика және инженерлік есептеулерде нақты практикалық есептерді шешуге мүмкіндік береді.

Зерттеудің міндеті: -d-өлшемді торда сызықтық және сызықтық емес жылу теңдеулерін зерттеп, олардың әлсіз шешімдерінің қасиеттерін анықтау.

-Навье–Стокс теңдеуінің әлсіз шешімдерін құру және олардың бірегейлігін дәлелдеу.

-Энергиялық бағалаулар арқылы шешімдердің уақыт бойынша тұрақтылығын бақылау.

-Спектралдық әдістер мен Галеркин апроксимациясын қолдану арқылы сандық модельдеудің теориялық негізін жасау.

-Алынған нәтижелерді күрделі және турбуленттік ағындарды талдауда қолдану мүмкіндігін қарастыру.

Материалдар мен әдістер. Зерттеу нәтижелері сұйықтық ағындарын сандық модельдеуде, күрделі және турбуленттік ағындарды талдауда қолданылуы мүмкін. Сонымен қатар, периодтық шекаралық шарттар мен торлық құрылымдарды пайдалану арқылы алынған әдістер гидродинамика, климаттық модельдеу, аэродинамика және инженерлік есептеулерде нақты практикалық есептерді шешуге мүмкіндік береді. [2; 3].

Нәтижелер. Шектеулі өлшемде ықшамдылық жабықтық пен шектелгендікке тең, сондықтан оны өте оңай дәлелдеуге болады. Спектралдық теорияның көмегімен сызықтық жылу теңдеуі үшін глобальды әлсіз шешімнің бар екені, оның бірегейлігі және энергиялық бағалаулар арқылы уақыт бойынша бақылауға алынатыны көрсетіледі. Навье–Стокс теңдеуі: глобальді шекті бағалараулар және әлсіз шешімдер үшін компактілік. Навье-Стокс теңдеуінің бірегейлігі және тұрақтылығы

Біз 2D сығылмайтын Навье-Стокс теңдеулерін қарастырамыз:

Мұндағы:

 u(x,t): жылдамдық өрісі,

p(x,t): қысым,

f(x,t): сыртқы күш

Екі шешімді қарастырайық.

u,v деп екі шешімді қарастырайық, олардың бастапқы деректері f,g және қысымдары p,q  әр түрлі болуы мүмкін.

Бастапқы шарт:  және сәйкес шарттар.

Азайтып, айырмаларды анықтау

Содан кейін айырма теңдеуі мынадай болады:

Енді біз сызықтық емес мүшені жеңілдеткіміз келеді:

 Біз стандартты векторлық теңдікті қолданамыз:

Біз аламыз:

 ішкі көбейтіндісін аламыз.

Энергия баалауын алу үшін, теңдеудің екі жағын да  -ға көбейтеміз және

Анықталу облысы бойынша интегралдаймыз.Әрбір мүшені жеке-жеке есептейміз.

Бізде қалады:

Сызықты емес мүшені бағалау.

Біз сызықтық емес мүшені бағалап отырмыз:

   екі жылдамдық өрісінің айырмасы

 сызықтық емес мүшесі бұл  құрамдастарының u-ды туындылауда қолданылатынынн білдіреді.

Содан кейін,  мен нүктелік көбейтіндіні алып, облыс бойынша интегралдаймыз.

Гельдер теңсіздігін қолдану:

Бұл мына себеппен орынды:

Гаглиардо-Ниренберг теңсіздігін қолдау

Біз    және , арқылы өрнектегіміз келеді, оларды біз бақылауға ала аламыз.

Бағалауларымызға энергиялық бағалау қолданамыз.

Бөліктерге бөліп, Коши-Шварц теңсіздігін қолданамыз. Содан кейін Янг теңсіздігін қолданып, Гронуалл теңсіздігіне де жетеміз. Гронуалл теңсіздігі дифференциалдық теңсіздік қанағаттандыратын функцияның өсуін бағалауға арналған құрал. Соңында біркелкілік пен тұрақтылыққа қол жеткіземіз.

Талқылау. Бұл зерттеу d-өлшемді торда Навье–Стокс теңдеуінің әлсіз шешімдерін құру мен олардың бірегейлігін қарастыруда жаңа нәтижелер ұсынады. Сонымен қатар, энергиялық бағалаулар мен спектралдық әдістерді қолдану арқылы шешімдердің уақыт бойынша тұрақтылығын бақылау тәсілдері нақты көрсетілген, бұл теориялық гидродинамика мен сандық модельдеуді дамытудың жаңа бағыттарын ашады.

Бұл жұмыста d-өлшемді торда сығылмайтын сұйықтық қозғалысын сипаттайтын Навье–Стокс теңдеуі қарастырылып, оның әлсіз шешімдерінің бар болуы, бірегейлігі және тұрақтылығы талданды. Навье–Стокс теңдеулерінің негізгі ерекшелігі — физикалық тұрғыдан күрделі турбуленттік және хаостық құбылыстарды сипаттайтын сызықтық емес мүшелердің болуы. Бұл олардың аналитикалық шешімдерін іздеуді әлі күнге дейін ашық ғылыми проблема ретінде қалдырады. Сондықтан есептеу және аналитикалық апроксимация әдістерін қолдану қажеттілігі туындайды.

Жұмыста Галеркин әдісі мен спектралдық тәсілдер негізінде әлсіз шешімдерді құрудың теориялық негіздері жүйелі түрде қарастырылды. Энергиялық бағалаулар арқылы шешімдердің уақыт бойынша шектелетіні және олардың тұрақтылығын бақылауға болатыны көрсетілді. Бұл d-өлшемді тордағы периодтық шекаралық шарттардың артықшылықтарын пайдаланып, сандық модельдеу нәтижелерін теориялық бағалаулармен ұштастыруға мүмкіндік берді.

Зерттеу нәтижелері сұйықтық динамикасының күрделі құбылыстарын тереңірек түсінуге және практикалық модельдеуде қолданылатын есептеу әдістерінің дұрыстығын негіздеуге септігін тигізеді. Атап айтқанда, гидродинамикалық процестерді модельдеу, климаттық және аэродинамикалық есептерді шешу барысында алынған теориялық тұжырымдар нақты есептеулерде пайдалануға тиімді.

Жалпы алғанда, бұл жұмыс Навье–Стокс теңдеуінің әлсіз шешімдерін зерттеуге арналған заманауи аналитикалық тәсілдерді жүйелендіріп, математикалық гидродинамика саласында әрі қарай жүргізілетін ғылыми зерттеулерге берік теориялық негіз қалыптастырады. Сонымен бірге, турбуленттік ағындарды сандық модельдеу бағытындағы болашақ ізденістерге жол ашады.